Оптимизация — это математический процесс поиска «наилучшего» решения — либо минимизации, либо максимизации целевой функции — в заданной допустимой области, ограниченной конкретными правилами.
Классические методы против интеллектуальных подходов
- Метод Ньютона-Рафсона: Итеративный метод нахождения корней с использованием производных второго порядка (гессиан).
- Метод градиентного спуска: Метод первого порядка, который движется к локальному минимуму, следуя отрицательному градиенту.
- Эволюционные алгоритмы (ЕА): Стохастические методы поиска, основанные на популяции, вдохновленные биологическим естественным отбором.
Ключевые понятия
Крайне важно различать вектор решений (переменные, которые мы изменяем) и целевую функцию (меру успеха).
Ошибки кодирования
Остерегайтесь исчезающего градиента при вычислительных методах и скал Хэмминга при двоичном кодировании ЕА. Одно десятичное увеличение (например, с 7 до 8) может потребовать инвертирования всех битов (0111 до 1000), что создает «скалу», затрудняющую эффективный поиск. Используйте кодирование Грея чтобы избежать этого.
Реализация на Python: метод градиентного спуска
Вопрос 1
Почему задача выпуклой оптимизации считается «проще» чем невыпуклая?
Вопрос 2
В контексте эволюционных алгоритмов, что представляет собой «фенотип»?
Кейс-стади: Максимизация площади треугольника
Прочитайте сценарий ниже и ответьте на вопросы формулировки.
Рассмотрим задачу максимизации площади прямоугольного треугольника, где длина гипотенузы $c$ фиксирована.
Вопрос
1. Определите переменные решения и целевую функцию.
Ответ:
Переменные: длины двух катетов, $a$ и $b$.
Целевая функция: максимизировать $Area = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Переменные: длины двух катетов, $a$ и $b$.
Целевая функция: максимизировать $Area = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$.
Вопрос
2. Укажите ограничение на основе геометрических свойств.
Ответ:
На основе теоремы Пифагора, ограничение имеет вид: $a^2 + b^2 = c^2$.
На основе теоремы Пифагора, ограничение имеет вид: $a^2 + b^2 = c^2$.
Вопрос
3. Если используется метод Ньютона-Рафсона, какую матрицу необходимо вычислить для учета частных производных второго порядка?
Ответ:
Матрица Гессиана ($H$), содержащая все частные производные второго порядка целевой функции.
Матрица Гессиана ($H$), содержащая все частные производные второго порядка целевой функции.